第819章 两种证法

说归说闹归闹,佩雷尔曼本人虽然理解,但并不喜欢这种夸张的排场。

或许这也是他在证明了庞加莱猜想之后选择就此隐退的原因之一。

所以,最后还是把这几十号人给遣散了。

只留下身份地位够高,确实不好赶走的几位。

在这些人里面,佩雷尔曼只跟田纲有过一面之缘,至于剩下几位,确实是没什么印象。

因此在常浩南介绍过之后,也只是分别打了个招呼,便跟车上下来的其余几人一起向酒店大厅走去。

倒不是说华夏这功夫连第三个有名有姓、上过知名数学期刊的学者都找不出来——华夏的理论数学领域虽然矬了一点,但还不至于这么寒碜。

主要是今天在这的,要么是微分几何领域的研究人员,要么就是几个数学专业较强的学院或学校领导。

这些人里面。确实没有太出名的。

而其它不相干研究方向的学者,或许会来听个讲座,但肯定不至于凑这种热闹。

所以才有了这個比较尴尬的场面——

当然,尴尬的肯定不是常浩南和佩雷尔曼。

“对了,田教授。”

或许是为了缓和一下气氛,有人突然对旁边的田纲问道:

“我记得按照安排,佩雷尔曼教授的报告会应该是安排在明天上午,那你那边……”

这个问题多少有点不合时宜,现场的气氛也并没有真的缓和下来。

田纲看着那边一行人逐渐远去的背影,轻轻叹了口气:

“没办法,跟这位撞了车,只能推迟几天了。”

要说郁闷,那他肯定是郁闷的。

准备这么长时间,结果最后被一个根本不以数学见长的学校给抢了风头,这你找谁说理去?

不过他倒也不至于一点办法没有。

至少在这个时候,佩雷尔曼还不能算是影响力最顶尖的那批数学家。

毕竟他还没拿菲尔兹奖呢。

所以,田纲的思路也很明确,利用自己的人脉,想办法请一位级别更高的大佬就是了。

想到这里,他便已经开始在脑海中筛选起合适又有可能的人选来……

……

佩雷尔曼的来访早在年初就已经开始宣传了,因此到了安排讲座的这天,现场在正式开始前一个多小时就已经座无虚席。

除了教授和研究员们以外,其实还有很多都是学生。

有些是数学专业,真的想要来听点东西。

还有些纯粹就是凑个热闹。

阶梯教室最前端,巨大的幕布上,正显示着今天的标题——

《约化体积和非局部坍缩定理》

以及在稍微靠下一点的位置,注明了本场讲座的邀请人:

常浩南教授。

“常浩南……是去年证明出那个常氏引理的常浩南么?”

后排位置,一名学生模样的听众小声询问旁边的同伴。

显然,这个名字在数学界还不像在航空界那样声名显赫。

“应该是了,我记得常氏引理恰好也是微分几何领域的成果,跟佩雷尔曼的研究方向很接近……”

旁边的同伴回答道:

“而且咱们国家研究这个领域的学者本来就少,不太可能有两个同样姓氏的人……”

当然,更多的人还是在关注今天这个讲座的题目。

倒不是说常浩南不重要。

而是说……

“田教授,这个非局部坍缩定理,恕我孤陋寡闻,是微分几何领域的最新成果?”

坐在田纲旁边的另一名教授微皱着眉头问道。

他觉得就算华夏在这方面的研究水平不算高,但应该也不至于连别人的成果都看不懂。

然而今天连主讲人都还没看见,就直接怀疑人生了——

何止是成果,这怎么连标题都看不懂了?

但田纲也是迟疑了一下,然后摇了摇头:

“非局部坍缩是个很常见的概念,但定理……”

显然,他也没听过。

但作为在国际数学家大会上进行过45分钟报告的学者,他在见识方面还是要丰富不少的:

“不过,据说佩雷尔曼有个很怪异的习惯,他有时候会把自己的成果不通过任何期刊,直接公布出来。”

“还有这种人?”

旁边的教授直接就惊了:

“也就是说,这有可能又是一项新的成果?”

“嗯……有可能。”

田刚点了点头:

“不过严格来说,在经过数学界广泛认可之前,任何成果都不能被称作定理……”

话虽如此,但旁边几乎所有听到这段对话的人都齐刷刷地做出了同样的动作。

拿出本子。

翻开。

掏出笔。

准备记录。

之所以说几乎,是因为还有一部分人在忙着向周围借纸笔,所以反应慢了几拍……

实际上,也不能怪他们在这种场合不带笔。

这种讲座,不管国内国外,本身的学术价值其实不高。

毕竟大多数情况下,讲的都是自己已经发表过的内容。

而这些内容,该看的人也早就看过。

所以核心还是看站在台上的人影响力如何。

只是今天遇到了这么个异类而已。

就在台下众人你一言我一语地猜测着今天讲座的内容时,换上一身整洁西装的佩雷尔曼终于登场了。

但他的第一句话,却并没有提到自己:

“我想,在座的各位,应该都已经看过常浩南教授发表在去年12月数学年刊上的那篇论文。”

他的英语仍然带着奇特的腔调和颤音,但明显刻意降低了语速,以保证绝大多数人能够听得懂。

因此,这句话结束,所有人的目光反而转向了第一排最靠边上的位置。

常浩南正坐在那里。

他之前就知道佩雷尔曼今天讲座的标题,尽管不知道内容,但考虑到非局部坍缩定理本就是对方和自己通过邮件讨论过的内容,所以对于自己的名字被提到也算是早有心理准备。

面对上百道目光,常浩南只是稍稍转过身,微笑着点了点头。

“在常氏定理的基础上,我发现了另外一个规律。”

佩雷尔曼转过身,把几面黑板分别拉到身边。

对于数学家们来说,哪怕有PPT和投影仪,他们很多时候也会更喜欢黑板或者纸笔这类传统工具。

“接下来,我将向你们演示,如何给出特定高阶流形上的局部内射半径。”

说完,他开始在黑板上奋笔疾书。

“令g(ij)是M上的完备流形,且满足g(ij)/γ=2R(ij)……”

而旁边的秘书也开始跟着他的步骤,不断给PPT翻页……

一个半小时。

整整一个半小时。

佩雷尔曼讲的如痴如醉。

台下的观众则听得欲仙欲死。

高阶流形上的里奇流本就极为抽象,再加上常浩南的论文见刊到现在本来也没多久,并不是所有人都能像佩雷尔曼一样看懂之后马上就灵活运用。

因此,除了早就看过这个思路的常浩南以外,基本都没听懂。

包括田纲在内。

不过他比其他人还要好一些,至少思路勉强跟上了一些。

当然,对于理论数学来说,这也没什么不正常的。

毕竟是个新的定理,别说是个讲座,哪怕是篇论文,都得看上几天甚至几个月功夫呢。

所以,大家也都已经奋笔疾书地把佩雷尔曼的证明过程给记了下来。

回去慢慢看嘛。

不管怎么说,他们今天至少都见证了一次历史。

不亏了。

然而,就在这个时候。

佩雷尔曼转过身,从旁边的桌子上拿起黑板擦。

紧接着,回到了黑板前面。

台下所有人顿时掀起了一种不祥的预感。

果然,佩雷尔曼做了个深呼吸。

然后。

“唰——”

把自己已经写好的内容给擦了。

“我刚刚这个证法,是错误的示范。”

常浩南第一次真切地意识到,原来“倒吸一口冷气”真的会发出声音。

他突然有点心疼今天这几百号听众了。

“当然,并不是说这个证法本身是错误的。”

佩雷尔曼的下一句话总算让已经快要心脏停跳的听众们缓过来了些许。

“只是,在我把这个结论发给常教授之后,他向我展示了一种更加精妙的解法。”

(本章完)

第820章 通往庞加莱猜想的钥匙

佩雷尔曼并不是简单地把常浩南当初发给他的步骤重新写了一遍——

对于他这个等级的数学家来说,做这种事情多少有点跌份。

而是在那个证明方式的基础上,又进行了一些优化。

“为了更进一步体现这个证明的优美,我们先引入一个概念:Τ-长度……”

“这……还……还记么?”

趁着佩雷尔曼在黑板上写方程的当口,一名青年教师哭笑不得地看着刚刚被擦干净的黑板,以及自己面前密密麻麻写了好几页纸的本子,甩了甩有些酸胀的手腕,小声对旁边的女友问道。

他并非微分几何方向的研究人员,刚才只是当了一波无情的抄笔记工具人,而现在……

实在是有点写不动了。

“当然要记,你看连常教授都在低头记,你难道比他还厉害?”

旁边几名听到这句话的人,瞬间把目光投向了远处……

发现果然,在刚刚一直只是坐着听的常浩南,现在竟然也不知道从哪掏出来了個本子,正在上面写写画画。

“嘶……”

又是齐刷刷一阵吸气声。

紧接着齐刷刷一阵翻页声。

最后是纸笔摩擦时传来的沙沙声……

只不过,如果有离着常浩南比较近的人凑过去看一眼的话,就会发现,实际上常浩南在纸上写的,并不是黑板上面的内容。

而是用铅笔画了一个球。

这是极其少见的情况。

因为对于微分几何领域的研究来说,高维空间往往比低维空间要容易。

就以庞加莱猜想为例,五维甚至四维空间下的庞加莱猜想实际上早就已经被证明。

但三维空间这道关口却始终未被攻克。

而众所周知。

在纸上,是不可能画出一个高维空间的。

只能靠想象,或者计算。

实际上,就连佩雷尔曼此时此刻在黑板上讲的内容,也是以四维空间为主。

但是,他在黑板上优化出来的这些内容,却给常浩南指明了一种全新的可能……

“假如这是一个由有限群作用生成的自由等距商空间,那么它似乎会微分同胚于一个三维紧致流形……”

常浩南的耳边已经逐渐听不到佩雷尔曼的声音:

“似乎不能直接下这种结论。”

他微微皱起眉头:

“但如果增加一个限定条件……令这个流形的里奇曲率为非负的话……”

“……”

台下,常浩南正低着头,沉浸在自己的思绪当中。

而台上,佩雷尔曼正在照常进行着讲座。

按照计划,比较过三类奇异模型之后,他将可以推导出跟刚才一样的结论。

在又一次用尽了一面黑板之后,佩雷尔曼照例走到下一面旁边。

但这次,却没有马上动笔。

而是抬手擦了擦额头上的汗。

他已经在台上连续不断地讲了近两个小时。

精力和体力确实有点跟不上了。

实际上,黑板上面的这个思路,甚至是他在来华夏的飞机上面想到的,把它作为讲座内容,也是带着点边介绍边验证的意思。

所以,要比一般单纯的讲座费神很多。

好在旁边的工作人员早就已经准备好,趁着这个机会赶紧把一杯温水放在了小桌子上——

如果是个华夏学者,这个环节一般会直接上热茶,但考虑到外国人可能会不适应这个步骤导致被烫着,因此在唐林天的特地关照下降低了温度。

佩雷尔曼也不客气,顺势来到桌边拿起茶杯,一边喝着水,一边看着已经被自己写满的前两面黑板。

突然,他手上的动作停顿住了。

视线聚焦到了第一面黑板的下方。

由于是第一次系统性地梳理这种方式,因此有些细节,甚至连佩雷尔曼自己都没能在第一时间注意到。

那里是一个不等式。

R≥(-v)[lg(-v)+lg(1+t)-3]

原本,他只是将其作为推导过程中产生的一个平常估计,但现在回看的话,似乎可以沿着这个方向获得一些很有趣的结论……

比如,当曲率在时刻趋向无穷时,最小的负的截面曲率比最大的正的截面曲率要小。

换句话说,三维极限解必定有非负曲率算子。

没错,三维。

佩雷尔曼甚至连茶杯都来不及放下,便转身看向台下坐着的常浩南。

发现后者正在专心致志地低头写着什么。

而这个时候,常浩南也总算在纸上证明出了自己刚刚的那个猜想。

他抬起头。

视线与佩雷尔曼突然交汇。

尽管二人之间没有说任何一句话,但都从眼神中看出了一件事——

对方和自己,想到了一块。

两名微分几何领域的顶级学者,通过相对独立的思考,最终得出了一样的结论。

那基本可以排除这个结论错误的可能。

也就是说,在三维空间中对里奇流进行手术,是可行的。

而对于千禧年这会的微分几何学家来说,一个共识是。

要想解决三维空间下的庞加莱猜想问题,使用里奇流的几何化方法要比直接的拓扑学方法更加可行。

因此。

这很可能就是一把钥匙。

一把通往庞加莱猜想的钥匙。

当然,即便真的用这把钥匙打开了门,也还有一些工作要做。

比如要保证能在有限次的运算中,找到合适的neck区域进行截断手术。

还要解决一般初始度量导致里奇流产生奇点点的问题。

但是。

这些都是细节问题。

甚至可以说是只靠消耗时间就必定能解决的问题。

如果说,常氏引理对于庞加莱猜想而言,只是万里长征第一步。

那么今天的结论——

或许可以称之为三维流形定理,或者更干脆点说,佩雷尔曼-常定理,则已经可以算是“行百里者半九十”。

当然,无论佩雷尔曼还是常浩南,都不会同意把两个人的姓氏组合用在这个地方。

因为按照这个方向继续下去,二人的姓氏,将很可能被直接冠于“庞加莱”的后面。

……

而与此同时,下面的其他听众也在趁着这难得的缓冲期回顾刚刚记下来的笔记内容。

当然,这些人并未参与到黑板上过程的最初推导当中,因此思维定势决定了,他们肯定会沿着佩雷尔曼在黑板上写下的步骤去思考,而不会看出,至少在短时间内不会看出,其中一个不起眼的不等式,会对整个数学界产生历史性的影响。

不过,其中的大多数毕竟都是专业数学家,因此,倒也不可能全无收获……

“我好像看明白了……”

田纲第一个舒展开了眉头。

虽然佩雷尔曼此时还并没有把整个推导过程写完,但他已经想到了后面剩下的步骤。

相比于令人头大的第一种解法,目前写在黑板上面的这种明显要简洁易懂得多。

“确实是……精妙至极的证法……这样就可以直接计算出紧致流形的局部内射半径……”

“叫做非局部坍缩定理,非常准确……”

他小声的自言自语吸引到了旁边几个人的注意。

很快,田纲的笔记便传阅开来。

而台上的佩雷尔曼,却仍然站在原地双手抱胸看着面前的黑板,没有说话。

刚刚安静的阶梯教室逐渐响起一些窃窃私语声。

“不愧是田教授啊……能比最先得出成果的本人都快。”

一名学者看着面前的笔记本,又抬头对照了一下黑板上写到一半的内容。

“哪里……人家已经站了两个小时,都推到一半了,我这也就是仗着精力充沛,才占了个便宜……”

田纲摆了摆手。

话虽如此,他心里还是比较高兴的——

虽然成果肯定属于人家佩雷尔曼,或许还有对方刚刚提到的常浩南,但自己能在没看完证明过程之前就自己推导出来,至少说明在能力上没有被落下太远……

当然,此时的他还不知道。

佩雷尔曼之所以停下,是因为已经看到了一条通往更高山峰的路。

相比之下,现在黑板上的这些东西,根本不值一提……

“请给我几张纸,谢谢。”

几分钟的沉默过后,佩雷尔曼重新开口的第一句话,却并不是继续介绍他的思路,而向场务要来了纸笔。

“嗯?”

“为什么突然要这些……”

“难道是发现推导过程有问题?”

“不能吧……我刚隐约听见,前面的几个老师,都已经按照这个思路推出来了,而且我理解着也感觉挺顺的……”

“有没有这样一种可能,就是说连咱们都能理解,反而更有可能是哪里出了问题?”

“别吧……”

“……”

奇怪的举动令现场再次躁动起来。

但佩雷尔曼却对此置若罔闻。

他接过纸笔,坐在那张临时安放的课桌前面,低头开始了自己的计算……

(本章完)

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