在理查德一家人开始憧憬未来的时候，世界数学界毫无预兆的突然沸腾了！
最初的原因是陶轩之在他的博客上发表了一封乔喻发给的信。
成功的数学家之间相互经常邮件沟通探讨数学问题是件很平常的事情。越是厉害的数学家越是如此。
而且在外界看来，两人其实在某种程度上本就应该有共同语言。比如，小时候都属于神童，长大了也没荒废。
尤其是两人在数学层面的涉猎都很广泛。
更别提陶轩之在乔喻还没有被世界数学界广泛认可之前，对这位后起之秀的评价就很高。
不止一次帮乔喻站台就是明证，两人私下会有联系，本就是在所有人意料之中的事情。
之所以引发了数学界的轰动，还是因为这封信探讨的问题——湍流跟N-S方程！
时隔七年，乔喻终于再次向数学下手了。
这封信的内容如下：
陶轩之先生：见字晤面。
前些日子袁老掐指一算，认为我有解决湍流本质问题的潜力，所以这段时间我一直在思考关于湍流，关于N-S方程的光滑跟唯一性问题。
不得不说这的确是个很有意思的问题。巧的是在我研究这个问题的时候正好看到了2014年你在美国数学学会会刊上发表的论文——《三维N-S方程的平均解的有限时间爆破》。
所以写了这封信探讨一些我最近针对三维N-S方程的想法。
你在论文中所构造的平均版本欧拉双线性算子，证明了对于一个初值u0的湍流系统会在有限时间内爆炸。
我大概将之理解为一个机器人A洒了一瓶可乐，于是他复制了自身机器人B去收拾残局，机器人B又复制了机器人C清理……
就这样一直不停复制，直到机器人X直接释放爆炸性能量，洒掉的可乐被清理干净，所有机器人也不复存在。
我觉得很有意思，你的研究让针对N-S方程的一种研究思路从此断绝了证明的可能。也给了我很大的启发——即证明过程必须要有区分原算子和平均化算子的方法。
这也让乔代数几何再次有了用武之地。
在传统分析框架下，原算子与平均化算子会在巴拿赫空间中形成不可调和的矛盾，就像你所揭示的爆破机制那样。
但如果我们将每个速度场单元u(x，t)投射到模态空间(α，β)中，通过N_α，β(u)的模态投影，可以构造出具有以下特性的新双线性型：
B(u，v)=⊕_{γ∈Γ}[N_{α+γ，β}(u)_Ω_γ N_{α，β-γ}(v)]
其中Γ就是你论文中定义的临界频率区间。现在请你我都暂时忘记黎曼曲面与欧氏空间的界限。
来欣赏这个构造的精妙之处！
相信你也发现了，当γ趋近爆破阈值时，对应的模态分量N_{α+γ，β}(u)会因其自守性要求而自动湮灭——这本质上将你所发现的机器人X的爆炸转化为了模态空间中的守恒律。
现在让我们回忆一下乔代数几何中的模态守恒定理。
如果将若将初始条件u0改写为N_α，β(u0)=⊕[φ_kψ_l]，其中每个φ_k满足模态单位数稳定性条件‖N_α，β(φ_k)‖≡1，那么能量传递链会在第k+l≤dimM步时必然出现参数流形M的定向反转。
为此我构造模态流形M上的特殊示性类，并证明了任何导致有限时间奇点的解，必然违反N_α，β(1)的模态单位性定理。
当然，相信看到这里你已经发现问题了！
我的思路还有两个致命漏洞无法验证，一个是如何将粘性项Δu嵌入模态空间的曲率张量；另一个则是我还无法解释爆破解在模态参数(α，β)→(0，π/2)时的渐近行为。
事实上我已经借用量子模拟超算进行了数次奇异涡旋模态分解。但显然，目前的结果并没有能直接证明其具备光滑解跟唯一性的证据。
所以肯定还有我没想到的地方，如果你不忙的话，也许我们能一起针对这两个问题进行更深入的探讨。
如果你的团队有空暇也可以接入计算，让我们一起努力，争取早日解决这个未解之谜。
另：其实我想休息来着。但是我的老师跟袁老人家觉得我休息的时间很长了！他们对我寄予厚望，让我不方便偷懒。
所以请一定要帮我想想办法！而且我有种预感，当我们彻底认识到湍流的本质，或者说数学上的本质，将能在航天领域开辟另一条新的赛道，赛道上将会有我们的名字。
……
陶轩之在博客上将这封信公开之后，后面顺带发了自己的见解。
“虽然乔喻给我画了一张很大的饼，但我发现以我浅薄的知识储备恐怕无法独立完成他所托付给我的任务。
所以如果大家谁有更好的想法，也许可以一起讨论。尤其是如何将粘性项Δu嵌入模态空间的曲率张量这个问题。
Δu代表着速度场的扩散效应。它在空间中的作用通常与速度场的变化率有关，直观地讲，粘性项控制了速度场的平滑性。
但在模态空间的框架中，粘性项不仅需要考虑速度场的梯度，还要考虑其如何与模态结构相互作用。
这就涉及到如何将这些空间中的变换映射到模态空间，并理解这些变换如何影响解的性质。
另外，我们是否能把模态空间理解为对速度场进行投影后的一个空间，其中每个模态对应一个特定的基函数或频率。
那么在该空间里，问题的复杂性可能会简化，因为模态空间中的各个成分可以看作是解的一种表示或分解。
但是模态空间中的曲率张量涉及到流体动力学方程的几何性质，尤其是速度场在不同方向上的变化和相互作用。
所以我初步的想法是将流体动力学方程的非线性项看作是一个几何对象，类似于李群上的流形或变分法中的广义力学系统。
那么在这个框架下，粘性项的作用可以通过曲率张量来描述，捕捉流体在不同模态下的扩散行为。
但可以想象，模态空间中的曲率张量是速度场在该空间中的局部几何特性，而粘性项则可能影响这些几何特性的传播和变化。
因此，将粘性项嵌入到曲率张量的框架中，可能意味着需要构造一个非线性几何算子，该算子需要敏锐的捕捉到速度场的变化及其扩散行为。
显然这很难！如果你有更好的想法，请在博客下留言，或者直接给我或者乔喻发邮件！但很显然，这并不只是像乔喻说的那样，或者说他还是太谦虚了……
我相信如果真的能解决这个问题，绝对不止在未来航天领域这个赛道能下名字，而是在诸多赛道都能留下名字！”
……
只能说陶轩之是真的很擅长把一个问题给抛出去。然后集思广益。但显然其实要远比他公开的其他问题更难！
好吧，这似乎是句废话！
如果不难的话，也不会被列为千禧年七大数学难题之一了。
让世界无数数学家无语的是，乔喻一出手就把N-S问题给简化了。
理论上来说，按照乔喻给出的方法，进行推演，已经能够证明N-S方程是有光滑解根唯一解的。
无非是要解决他在心中提到的两个暂时还无法验证的问题而已。
但还是那句话，解决这些世界级难题最大的意义其实并不是解决问题本身，而是解决问题的思路能为人们认识这个世界本质性的一些东西提供新的工具跟视角。
乔喻巧妙的将N-S方程融入到乔代数几何跟乔空间的方法，无疑给全世界数学家开了一扇窗！
用大众能理解的语言来说，乔喻正在进行的是一次数学革命，更具体的是拓扑分析的模态化革命，甚至涉及到数学本体的认知升维、工具理性的范式跃迁。
这无疑是对学科壁垒进行溶解，甚至再次对计算数学展开降维打击！
所有能看懂这封信跟陶轩之分析的数学家大概都有这种感触。
因为乔喻提出这套方法的本质，其实可以理解为将物理空间的微分结构直接翻译为模态空间的拓扑不变量。
当数学家们意识到N-S方程的非线性项可以表征为参数流形M上的纤维丛截面时，这实际上架起了偏微分方程与代数几何之间的量子桥梁。
正如当年迈克尔·阿蒂亚跟伊萨多尔·辛格开辟的Atiyah-Singer指标定理统一分析与拓扑，乔喻的这套空间方法论正在缔造动力学与几何的深层对偶。
要知道在传统分析中，往往将湍流奇点视为灾难，但在N_α，β模态框架下，这些爆破点恰恰成了模态空间产生共形映射的临界源。
怎么说呢，当年非欧几何横空出世的时候，直接是对平行公理的重新诠释。此时的情况其实也差不多。
数学家不需要再跟无处不在的奇点做殊死搏斗，而是通过调节(α，β)参数直接将其转化为新的维度调节器。
原本混沌的湍流能谱被解构为可列个模态层的相干共振。更惊人的是，当有人顺着这个思路去做验证，这种方法能对Kolmogorov尺度律给出了拓扑诠释——惯性区对应着参数流形M的测地线密集区，而耗散区则是其曲率爆发的黎曼褶皱……
甚至不止于此……
涡旋结构等价于复曲面上的特殊除子；Leray弱解的存在性对应着Calabi-Yau流形的镜对称性；湍流脉动离散为模态特征层的⊕-叠加；光滑性被重新定义为参数流形的连通性……
所以存在性的证明可以理解为湍流轨迹必然经过三维切片……
是的，乔喻只是发给陶轩之一封信，便在一个月后就让整个数学界彻底沸腾了起来！
是的，不是热闹，不是讨论，而是沸腾！各种深层次的讨论甚至直接蔓延到了哲学领域。
毕竟乔喻提出的这种利用流形曲率编码粘性耗散的方法，直接指向了数学与物理的超验同构性。
也就是说人类可能永远不清楚数学究竟是被发现的，亦或是数学只是被人为定义并重构人类文明的认知。
而之所以这其中有一个月的时间，主要是最初真没几个人能看懂两人聊的内容。
这一个月很多真·大佬级人物跳出来各种讲解跟验证，才将信件中信息密集度极大的内容分步简化成大家能看得懂的内容。
比如“能量传递链会在第k+l≤dimM步时必然出现参数流形M的定向反转……”
乔喻在信件中只是简单一句话就带过了，但其实涉及到的内容包括了流体微元在有限时间内体积无限压缩。
以及乔喻方法介入后直接将对其进行操作，然后让原物理空间的奇点转化为M流形上的光滑极点……
数学表示就是：原N-S方程的爆破条件‖u(t)‖→∞被转化为：∫_{M} N_α，β(u) dσ= 0……
当参数流形边界出现零通量时，物理空间爆破必然被阻止。
而就这部分内容甚至可以直接写一篇近百页的数学论文！
这也解释了真实的洋流肯定不会就因为一个小小的湍流突然毫无预兆的直接爆掉，积累的能量最终会通过某个通道倾泻……
诸如这些需要有人进行数学解释的东西太多了！如果没有这些大佬耐心的发文章解释，很多数学家都看不懂乔喻到底在跟陶轩之聊些什么。
甚至还有人直接将数学界大佬们解释的内容进行总结，直接做出了一张对应表。
比如湍流中的涡旋拉伸，大概等于数学中的复结构的辛形变，对应的模态方程解释片段就是_tω= N_α，β(ω)v。
又比如粘性耗散，对应着Ricci曲率的各向异性扩散，模态方程片段则为νΔu Ric(g_{αβ})……
如此种种，当人们一步步缕清乔喻竟然试图用数学直接对物理现象进行解释，自然让整个数学界呈现出一种逐渐炸锅的过程……
没办法，这才真是足以让整个应用数学界为之疯狂的数学理论！
如果乔喻真用这种方法结构了N-S方程，意味着未来应用数学家们甚至能在一定程度上直接跳过物理，去结构自然，还原自然……
所以这一块还是陶轩之说的对！
真能搞定这个问题，受影响的绝对不止是航天领域！(本章完)